Adaugat la data: 2010-09-05
de catre: danutza
Numar pagini: 5
Tip document: .doc
Nivel: Gimnaziu
Dimensiune: 118.5 KB
Downloads: 1
Credite: 0

Din referat: Ecuatia de gr II

ECUATIA DE GRADUL AL II-LEA

Fie problema:

O casa are baza în forma de dreptunghi, cu lungimea de 13m si latimea de 7,5m.

Proprietarul doreste sa-si construiasca o bordura de ciment, de aceeasi latime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are îl obliga la o suprafata construibila de 33m2.   

x    13m

În conditiile date, care este latimea
maxima pe care o poate avea bordura
casei?

CASA   
       
7,5m

Pentru rezolvarea acestei probleme notam cu x, în metri, latimea bordurii si putem scrie urmatoarea ecuatie:

4x2 + 41x =33 ? 4x2 + 41x –33 = 0

Se observa ca aceasta ecuatie este diferita de tipul de ecuatii învatate anterior. Deoarece necunoscuta x apare si la puterea a doua, aceasta ecuatie spunem ca se numeste de gradul al II-lea.

Forma generala a unei ecuatii de gradul al II-lea este:

ax2 + bx + c = 0                                              (1)

unde a,b,c sunt numere reale, cu a ? 0. Aceasta ecuatie se numeste de gradul al II-lea cu coeficienti reali.

Rezolvarea ecuatiei (1) presupune determinarea tuturor solutiilor (radacinilor)  sale.

Existenta radacinilor reale precum si numarul lor depind de expresia

b2 – 4ac                                                          (2)

care se numeste discriminantul ecuatiei de gr. al II-lea si se noteaza cu ?.

Daca discriminantul este pozitiv, atunci ecuatia are doua radacini reale, diferite între ele:

În cazul în care ? = 0, atunci ecuatia are doua solutii reale, egale:

Putem avea si doua cazuri particulare de rezolvare a ecuatiei (1) si anume:

a)Daca coeficientul b al lui x este nul atunci ecuatia devine:
  
ax2 + c = 0

În aceasta situatie ecuatia are doua solutii reale, egale numai daca  c ? 0 si ele sunt:

b)Daca termenul liber c  este egal cu zero. atunci forma ecuatiei este:

ax2 + bx = 0

Rezolvarea este:

Ecuatia de gradul al doilea, care are discriminantul ? ? 0, admite si doua forme particulare importante, si anume:

1. Daca în ecuatia (1) coeficientul b al lui x este de forma: b = 2b1 atunci obtinem: ax2 + 2b1x + c = 0,  pentru care discriminantul devine
iar radacinile vor fi de forma                                               .

 2.  Forma redusa a ecuatiei de gradul al doilea. O ecuatie de gradul al doilea se numeste redusa daca coeficientul lui x2 = 1. Forma generala a ecuatiei reduse este:                    x2 + px + q = 0,  
unde p, q sunt numere reale.

Daca în relatiile (1), (2), (3) înlocuim a, b, c respectiv cu 1, p, q vom obtine formula pentru radacinile ecuatiei de gradul al doilea sub forma redusa:

Între coeficientii si radacinile unei ecuatii de gr. al II-lea (1) se poate stabili un set de relatii cu aplicatie practica:
   
Relatiile (4) poarta denumirea de Relatiile lui Viète. Cu aceste relatii se poate deci calcula suma si produsul  radacinilor reale ale ecuatiei (1) fara a le afla efectiv.

s = x1 + x2 ,                               p = x1 ? x2                                                  (5)

Aceste relatii ne permit sa formam o ecuatie de gr. al II-lea atunci când cunoastem radacinile, astfel:

De utilitate practica mai este si studiul semnelor radacinilor unei ecuatii de gr al II-lea, mai ales când aceasta este cu parametru.

Acest lucru se poate face studiind semnul discriminantului, sumei si produsului radacinilor din relatia (2), respectiv din relatiile lui Viète (4).